РЕШУ ЦТ — математика ЦЭ

Задания

Задание № 89 Добавить в вариант

Сложность: IV

Треугольники

В прямоугольный треугольник AOB, катеты которого OA и OB (OA > OB) лежат соответственно на координатных осях Ox и Oy, вписана окружность радиуса 10. Найдите сумму координат точки касания окружности и гипотенузы AB, если треугольник AOB лежит в первой четверти координатной плоскости и его площадь равна 600.

Решение. В прямоугольном треугольнике $p= дробь: числитель: S, знаменатель: r конец дроби = дробь: числитель: 600, знаменатель: 10 конец дроби =60,$ где p  — полупериметр треугольника ABC, S  — площадь треугольника, r  — радиус вписанной окружности, откуда третья сторона треугольника равна $c=p минус r=60 минус 10=50.$ Из условия задачи имеем:

$система выражений ab=1200,a плюс b=2 умножить на 60 минус 50 конец системы . равносильно система выражений ab=1200,a минус b=70 конец системы . равносильно система выражений a=40,b=30. конец системы .$

Таким образом, сторона треугольника AO равна 40, сторона OB равна 30. Уравнение прямой, на которой лежит гипотенуза AB: $y= минус дробь: числитель: 40, знаменатель: 30 конец дроби x плюс 40.$ Уравнение окружности $левая круглая скобка x минус 10 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка y минус 10 правая круглая скобка в квадрате =100.$ Получаем систему уравнений:

$система выражений y= минус дробь: числитель: 30, знаменатель: 40 конец дроби x плюс 30, левая круглая скобка x минус 10 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка y минус 10 правая круглая скобка в квадрате =100 конец системы . равносильно система выражений левая круглая скобка x минус 16 правая круглая скобка в квадрате =0,y= минус дробь: числитель: 30, знаменатель: 40 конец дроби x плюс 30 конец системы . равносильно система выражений x=16,y=18. конец системы .$

Таким образом, сумма координат точки касания окружности и гипотенузы равна 34.

Ответ: 34.

Ответ: 34

Сложность: IV

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	89	34